Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且于D，与⊙O交于点F．

（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；

（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝1时，求切线的长．

Answer 1

【答案】(1) AC是∠DAE的平分线,理由见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥DE，又AD⊥DE，得出AD∥OC，根据圆的半径相等得出∠1＝∠OCA，再由平行线的性质得出∠2＝∠OCA，等量代换即可得出结论；

（2）先证明△AOF是等边三角形，进而得出∠DAO＝60°，由（1）中结论可得∠1＝30°，根据直角三角形的两锐角互余可得∠E＝30°，所以∠1＝∠E，根据等角对等边得出CE＝AC，即可得到答案．

试题解析：

解：（1）AC是∠DAE的平分线.

证明：连接 ．

∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，.

∵AD⊥DE，∴∠ADC＝∠OCE＝,

∴AD∥OC，.

∴∠2＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠1＝∠ACO，

∴∠1＝∠2，∴AC是∠DAE的平分线.

（2）∵＝1 ， ∴ ，即.

又∠1＝∠2， , ∴

又， ∴△是等边三角形，

， ，.

又∠ADE＝，

∴ .

∴CE＝AC＝AG＋CG＝2．