Question

【题目】如图1，在菱形中，，，点是上一点，点在上，且，设．

（1）当时，如图2，求的长；

（2）设，求关于的函数关系式及其定义域；

（3）若是以为腰的等腰三角形，求的长．

Answer 1

【答案】（1）=（2）y=x-8（≤x≤）（3）4

【解析】

（1）先根据菱形的边长和对角线的长得到∠ABO =30°，再根据，求出AP的长，故可得到DP的长；

（2）作HP⊥AB，根据AP=PQ，得到AH=QH=，BH=8-,BP=BD-DP=-x,再根据（1）可得HP=-x，在Rt△BPH中，BP2=HB2+HP2，化简即可求解，再求出x的取值范围；

（3）根据题意作图，由等腰三角形的性质可得△AQP是等边三角形，故可得到DP的长．

（1）∵，，

∴BO==4,AC⊥BD

故AO==4=

∴∠ABO =30°=∠ADO

∵

∴∠APB =90°-∠ABO =60°

故∠PAD=∠APB -∠ADO =30°

即∠PAD=∠ADO

∴DP=AP

设AP=x，则BP=2x，

在Rt△ABP中，BP2=AB2+AP2

即（2x）2=82+x2

解得x=

故=；

（2）作HP⊥AB，∵AP=PQ

∴AH=QH=

∴BH=BQ+QH=(8-y)+=8-,

BP=BD-DP=-x,

由（1）可得HP==-x

在Rt△BPH中，BP2=HB2+HP2

即（-x）2=(8-)2+(-x)2

∵-x＞0，8-＞0，-x＞0

∴化简得y=x-8

∵0≤x-8≤8

∴x的取值范围为≤x≤

∴关于的函数关系式是y=x-8（≤x≤）；

（3）如图，若是以为腰的等腰三角形，

则∠QPB=∠QBP=30°，

∴∠AQP=∠QPB+∠QBP=60°

∵∠BAP=90°-∠QBP=60°，

∴△APQ是等边三角形，∠APQ=60°

∴∠QPB +∠APQ=90°，

则AP⊥BP，故O点与P点重合，

∴PD=DO==4．