Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA= ，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2， ），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 =a×22﹣2a﹣a，

解得a= ，

∴抛物线的表达式为y= x2﹣ x﹣ ．

（2）

解：连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCF=90°，

∴∠ACO=∠CBF，

∵∠AOC=∠CFB=90°，

∴△AOC∽△CFB，

∴ = ，

设OC=m，则CF=2﹣m，则有 = ，

解得m1=m2=1，

∴OC=CF=1，

当x=0时，y=﹣ ，

∴OD= ，

∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°，

∴△OCD≌△FCB，

∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，

∴点B、C、D在同一直线上，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

（3）

解：过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则 ，

解得k=﹣ ，

∴y=﹣ x+ ，代入抛物线的表达式﹣ x+ = x2﹣ x﹣ ．

解得x=2或x=﹣2，

当x=﹣2时y=﹣ x+ =﹣ ×（﹣2）+ = ，

∴点E的坐标为（﹣2， ），

∵tan∠EDG= = = ，

∴∠EDG=30°

∵tan∠OAC= = = ，

∴∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠EDG，

∴ED∥AC．

【解析】（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．