Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1 ， y1），点Q的坐标为（x2 ， y2），且x1≠x2 ， y1≠y2 ， 若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
（1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（2）⊙O的半径为 ，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，

∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，

又∵点A，C的“相关矩形”为正方形

∴直线AC与x轴的夹角为45°，

设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n

把（1，0）分别y=x+m，

∴m=﹣1，

∴直线AC的解析为：y=x﹣1，

把（1，0）代入y=﹣x+n，

∴n=1，

∴y=﹣x+1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）解：设直线MN的解析式为y=kx+b，

∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，

∴k=±1，

∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，

当k=1时，

作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，

其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，

连接OA，OC，

把M（m，3）代入y=x+b，

∴b=3﹣m，

∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD= OA=2，

∴D（0，2）

同理可得：B（0，﹣2），

∴令x=0代入y=x+3﹣m，

∴y=3﹣m，

∴﹣2≤3﹣m≤2，

∴1≤m≤5，

当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b，

∴b=3+m，

∴直线MN的解析式为：y=﹣x+3+m，

同理可得：﹣2≤3+m≤2，

∴﹣5≤m≤﹣1；

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．