Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．

（1）求证：△ADE≌△CDB；

（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH的最小值为3．

【解析】

（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；

（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．

（1）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，

∴BC=EA，∠ABC=60°，

∵△DEB为等边三角形，

∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，

∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，

∴∠DEA=∠DBC，

∴△ADE≌△CDB；

（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，

由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，

∴∠EAE'=60°，

∴△EAE'为等边三角形，

∴E E'=EA=AB，

∴∠AE'B=90°，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，

∴AB=2，A E'=AE=，

∴B E'= =3，

∴BH+EH的最小值为3．