Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系中，点P从原点O以每秒1个单位速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，作点P关于直线y=tx的对称点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点A．

（1）当t=2时，求AO的长．

（2）当t=3时，求AQ的长．

（3）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示线段AP的长．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】

过P作PD⊥x轴，交直线y=tx于D，连接OQ，

（1）证△OPD∽△QAP，得，AP=2AQ，设AQ=a，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，；

②设AQ=a，Rt△AQO中，由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，；

（3）同理OP=t，PD=t2，△OPD∽△QAP，故，AP=tAQ，在Rt△AQO中，OQ=OP=t，由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，．

解：过P作PD⊥x轴，交直线y=tx于D，连接OQ，

（1）当t=2时，y=PD=2x=4，

∵∠BDP+∠DPB=∠DPB+∠APQ=90°，

∴∠BDP=∠APQ，

∴△OPD∽△QAP，

∴，

∴AP=2AQ，

设AQ=a，

Rt△AQO中，OQ=OP=2，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，

∴，

5a2+4a﹣12=0，

a1=﹣2（舍），a2=，

∴AO=；

②当t=3时，OP=3，PD=9，

设AQ=a，

Rt△AQO中，OQ=OP=3，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，

，

5a2+3a﹣36=0，

（a+3）（5a﹣12）=0，

a1=﹣3（舍），a2=，

∴AQ=AP=（+3）=；

（3）同理OP=t，PD=t2，

∴△OPD∽△QAP，

∴，

∴AP=tAQ，

Rt△AQO中，OQ=OP=t，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，

∴，

AP=．