Question

【题目】在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．

Answer 1

【答案】
（1）解：在矩形ABCD中，

∠A=∠D=90°，

AP=1，CD=AB=2，则PB= ，

∴∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴ = ，即 = ，

∴PC=2

（2）解：①tan∠PEF的值不变．

理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，

则四边形ABFG是矩形，

∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，

∴∠AEP+∠APE=90°，

又∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠GPF=90°，

∴∠AEP=∠GPF，

∴△APE∽△GPF，

∴ = = =2，

∴Rt△EPF中，tan∠PEF= =2，

∴tan∠PEF的值不变；

②设线段EF的中点为O，连接OP，OB，

∵在Rt△EPF中，OP= EF，

在Rt△EBF中，OB= EF，

∴OP=OB= EF，

∴O点在线段BP的垂直平分线上，

∴线段EF的中点经过的路线长为O1O2= PC=

【解析】1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；
②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．

【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对三角形中位线定理的理解，了解连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．