Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．

（1）a=；b=；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC．
①求线段PQ的最大值；
②若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ ,
（2）①由（1）知，a=﹣ ，b= ，

∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+2，

如图，过点P作PG垂直于x轴于点G，与线段BC交于点M，

直线BC的表达式为y=﹣ x+2，则点M的坐标为（t，﹣ t+2），

则PM=yP﹣yM=（﹣ t2+ t+2）﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴∠QPM=∠CBO

又∵∠PQM=∠COB，

∴△PQM∽△BOC，

∴

∴PQ= PM= （﹣ t2+2t）=﹣ t（t﹣4）

由抛物线的对称性可知，当t=2时，PQ的最大值是 =

②由①知，二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+2，

∴C（0，2），

∴OC=2，

∵B（4，0），

∴OB=4，

设P（t，﹣ t2+ t+2），

∴M（t，﹣ t+2）

在Rt△OBC中，tan∠OBC= = ，

在Rt△BGM中，BG=4﹣t，

∴MG= （4﹣t），根据勾股定理得，

BM= （4﹣t），

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴△PQM∽△BGM，

∴ ，= ，

∴QM= PQ= [﹣ t（t﹣4）]=﹣ ，

∵B（4，0），C（0，2），

∴BC=2 ，

∴CQ=BC﹣QM﹣BM=2 + ﹣ （4﹣t）= = t（t+1）

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴AB2=25，BC2=20，AC2=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB=90°=∠PQC

∵以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，

∴①△PCQ∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴t=3，

∴P（3，2）

②△CPQ∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

∴P（ ， ）

即：P的坐标为（3，2）或（ ， ）．

【解析】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），

∴ ，

∴ ，

故答案为：﹣ ， ；

（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出PM，再判断出△PQM∽△BOC，得出PQ的长，即可得出结论；
（3）利用相似三角形的性质得出CQ，再分两种情况用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可得出结论．