Question

【题目】图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形.

(1)如图1，求证：AD=CE.

(2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.

①求证：∠CFA=60°.

②求证：CF+BF=AF.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

(1)如图1，利用等边三角形性质得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再证∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE得出结论；

(2)①如图2，利用(1)中的全等得：∠BCE=∠DAB，根据两次运用外角定理可得结论；

②如图3，作辅助线，截取FG=CF，连接CG，证明△CFG是等边三角形，并证明△ACG≌△BCF，由线段的和得出结论.

证明：(1)如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形，

∴BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，

∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，

即∠ABD=∠CBE，

∴△ABD≌△CBE(SAS)，

∴AD=CE，

(2)①如图2，由(1)得：△ABD≌△CBE，

∴∠BCE=∠DAB，

∵∠ABC=∠BCE+∠CEB=60°，

∴∠ABC=∠DAB+∠CEB=60°，

∵∠CFA=∠DAB+∠CEB，

∴∠CFA=60°，

②如图3，在AF上取一点G，使FG=CF，连接CG，

∵∠AFC=60°，

∴△CGF是等边三角形，

∴∠GCF=60°，CG=CF，

∴∠GCB+∠BCE=60°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACG+∠GCB=60°，

∴∠ACG=∠BCE，

∵AC=BC，

∴△ACG≌△BCF，

∴AG=BF，

∵AF=AG+GF，

∴AF=BF+CF.