Question

【题目】等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．

（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）

【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；

（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果；

（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．

详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，

如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F，

设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l，

由切线长定理可知C′E=C′D，

设C′D=x，则C′E=x，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ACB=45°，

∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，

∴△EFC′是等腰直角三角形，

∴C′F=x，∠OFD=45°，

∴△OFD也是等腰直角三角形，

∴OD=DF，

∴x+x=1，则x=-1，

∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（-1）=5-，

∴点C运动的时间为；

则经过秒，△ABC的边与圆第一次相切；

（2）如图2，设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处，

A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F，

∵CC′=2t，DD′=t，

∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，

由切线长定理得C′E=C′D′=4-t，

由（1）得：4-t=-1，

解得：t=5-，

答：经过5-秒△ABC的边与圆第一次相切；

（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，

则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t，

由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t，

由（1）得：4-1.5t=-1，

解得：t=，

∴点B运动的距离为2×=．