Question

【题目】已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD.

(1)如图1，当OA，OC重合时，求∠EOF的度数；

(2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°.

①如图2，试判断∠BOF与∠COE之间满足的数量关系并说明理由.

②在∠COD旋转过程中，请直接写出∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)∠EOF=50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由见解析；②∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.

【解析】

(1)由题意得出∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝140°，由角平分线定义得出∠EOD＝∠AOD＝20°，∠DOF＝∠BOD＝70°，即可得出答案；

(2)①由角平分线定义得出∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝70°+α，求出∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°﹣α，即可得出答案；

②由①得∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α，

当∠AOC＜40°时，求出∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝30°+α，∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝120°+α，即可得出答案；

当40°＜∠AOC＜90°时，求出∠COF＝∠DOF+∠DOC＝150°﹣α，∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝120°+，即可得出答案.

解：(1)∵OA，OC重合，

∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°，

∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，

∴∠EOD＝∠AOD＝×40°＝20°，∠DOF＝∠BOD＝×140°＝70°，

∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°；

(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下：

∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，

∴∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝(40°+α)＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝(∠AOB+∠COD+α)＝(100°+40°+α)＝70°+α，

∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+α﹣α＝20°﹣α，

∴∠BOF+∠COE＝70°+α+20°﹣α＝90°；

②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α，

当∠AOC＜40°时，如图2所示：

∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+α﹣40°＝30°+α，

∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝100°+40°+α﹣(20°+α)＝120°+α，

∴∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝120°+α+30°+α﹣α＝150°，

当40°＜∠AOC＜90°时，如图3所示：

∠COF＝∠DOF+∠DOC＝(360°﹣140°﹣α)+40°＝150°﹣α，

∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣(20°+α)＝120°+，

∴∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝150°﹣+α﹣(120°+)＝30°；

综上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系为∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝150°或∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.