Question

【题目】在已知,口ABCD中∠ABC=90°,AB=4cm，BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.

(1)如图1，连接AF、CE.求证: 四边形AFCE为菱形.

(2)如图1，求AF的长.

(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中, 点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm,设运动时间为秒，若当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)5cm;(3) 秒.

【解析】（1）根据全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可；

（2）根据菱形性质得出AF=CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

（3）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形

∵AC⊥EF

∴四边形为菱形

（2）∵EF垂直平分AC

∴AF=CF

∴设AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得，

解得x=5，∴AF=5cm；

（3）∵ 显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形，

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，运动时间为t秒，

∴PC=t，QA=12﹣0.8t，∴t=12﹣0.8t，解得，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时秒