Question

【题目】已知如图：抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）与轴交于点，点为抛物线的顶点，过点的对称轴交轴于点.

（1）如图1，连接，试求出直线的解析式；

（2）如图2，点为抛物线第一象限上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，线段交于点，求此时:的值；

（3）如图3，已知点，连接，将沿着轴上下平移（包括）在平移的过程中直线交轴于点，交轴于点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x+；（2）；（3）G1（2，）,G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-）

【解析】

试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据顶点坐标的定义，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；

（2）根据平行于BC且与抛物线相切，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得P点坐标，根据解方程组，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得答案；

（3）根据平移的性质，可得直线MN的解析式，根据全等三角形的判定与性质，可得关于b的方程，根据解方程，可得b，根据b的值，可得OM的长，可得EG的长，可得答案．

试题解析：（1）在y=-x2+2x+中，

令y=0，则-x2+2x+=0，

解得：x1=-1．x2=5，

则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（5，0）．

抛物线y=-x2+2x+的对称轴是x=2，

把x=2代入解析式得y=，则D的坐标是（2，）．

设直线BD的解析式是y=kx+b，

根据题意得：，

解得：，

则直线BD的解析式是y=-x+；

（2）连接BC，如图2，

y=-x2+2x+中，令x=0，则y=，则C的坐标是（0，）．

设BC的解析式是y=mx+n，

则，

解得：，

则直线BC的解析式是y=-x+．

设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y=-x+d．

则-x2+2x+=-x+d，

即x2-5x+（2d-10）=0，

当△=0时，x=，

代入y=-x2+2x+中得：y=，

则P的坐标是（， ）．

又∵C的坐标是（0，），

设CP的解析式是y=ex+f，则

解得：，

则直线CP的解析式是y=x+．

根据题意得：，

解得：，

则F的坐标是（，）．

则；

（3）如图3，

设BK的解析式是y=kx+b，

则，

解得：，

则直线BK的解析式是y=x-2，

MN的解析式为y=x+b，

当y=0时，x=-b，即M（-b，0），ME=-b-2．

当x=0时，y=b，即N（0，b）．

由△GMN是以MN为腰的等腰直角三角形，得

MG=MN，∠GMN=90°．

∵∠MGE+∠GME=90°，∠GME+∠EMN=90°，

∴∠MGE=∠AMN．

在△GME和△MNA中，

，

∴△GME≌△MNO（AAS），

∴ME=ON，EG=OM，

即-b-2=-b．

解得b=-．

EG=OM=-b=，

G1点的坐标为（2，）．

同理可求：G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-）