Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DF平分∠EDC交BC于F，DE⊥DC交AB于点E，连结EF．

（1）证明：EF=CF

（2）当tan∠ADE =时，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

试题分析：（1）过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF，

（2）由tan∠ADE=，根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=4．在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF．

试题解析：（1）过D作DG⊥BC于G．

由已知可得四边形ABGD为正方形，

∵DE⊥DC．

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC，

∴DE=DC且AE=GC．

在△EDF和△CDF中

，

∴△EDF≌△CDF，

∴EF=CF；

（2）∵tan∠ADE=，

∴AE=GC=2．

∴BC=8，

BE=4，设CF=x，则BF=8-CF=8-x，

在Rt△BEF中，由勾股定理得：x2=（8-x）2+42，

解得x=5，

即EF=5．