Question

【题目】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB，AD，AC，BC的延长线于E，H，F，G

已知四个式子：①∠1＝ (∠2＋∠3)；②∠1＝(∠3－∠2)；③∠4＝ (∠3－∠2)；④∠4＝∠1．其中正确的式子有______．(填写序号)

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

由AD平分∠BAC，EG⊥AD，根据三角形的内角和定理得∴∠1=90°-∠BAD=90°-∠BAC，而∠BAC=180°-∠2-∠3，于是∠1=90°-（180°-∠2-∠3）=（∠2+∠3）故①正确；再根据三角形外角性质得∠1=∠2+∠4，得到∠4=∠1-∠2=（∠2+∠3）-∠2=（∠3-∠2），故③正确；根据三角形内角和定理得到∠1=∠AFH，然后可得∠3=∠4+∠1，结合∠1=∠4+∠2可得（∠3-∠2）=∠4，然后可得②错误；根据∠1=∠2+∠4，∠2和∠4不一定相等，可得④错误，由此得到正确答案．

解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，
∴∠BAD=∠CAD =∠BAC，∠AMF=∠ANE=90°，
∴∠1=90°-∠BAD=90°-∠BAC，
而∠BAC=180°-∠2-∠3，
∴∠1=90°-（180°-∠2-∠3）=（∠2+∠3），故①正确；
又∵∠1=∠2+∠4，
∴∠4=∠1-∠2=（∠2+∠3）-∠2=（∠3-∠2），故③正确；

∵∠1+∠BAD+∠AHE=180°，∠AFH+∠CAD+∠AHF=180°，
∴∠1=∠AFH，
∴∠3=∠4+∠CFG=∠4+∠AFH=∠4+∠1，
∴∠3-∠2=∠4+∠1-∠2
∵∠1=∠4+∠2，
∴∠3-∠2=2∠4，
∴（∠3-∠2）=∠4，
∴∠1=（∠3-∠2）错误，即②错误；

∵∠1=∠2+∠4，∠2和∠4不一定相等，
∴∠4=∠1错误，即④错误.

故答案为：①③．