Question

【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,把矩形OCBA绕点C顺时针旋转α角,得到矩形FCDE,设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0).

(1)当α=45°时，求H点的坐标.

(2)当α=60°时,ΔCBD是什么特殊的三角形?说明理由.

(3)当AH=HC时,求直线HC的解析式.

Answer 1

【答案】(1)H（2，4）；（2）△CBD为等边三角形；理由见解析. (3) y=-x+.

【解析】

（1）根据矩形的性质得OA=BC=4，AB=OC=6，由已知条件可知△HBC是等腰直角三角形，故可求AH=2，即可求出H的坐标；

（2）根据α=60°，得∠BCD=∠α=60°，又BC=DC即可证明△BCD是等边三角形；
（3）设AH=CH=x,则在RtΔBCH中由勾股定理代入数进行计算即可得到AH的长，进而得到H点坐标，设HC:y=kx+b(k≠0),再把C与H的坐标代入求解即可.

解:(1)H（2，4）

∵A(0,4),C(6,0)，四边形OCBA为矩形，

OA=BC=4，AB=OC=6

∵α=45°，∠ABC=90°，

△HBC是等腰直角三角形，BH=BC=4，

AH=AB-BH=6-4=2，

H（2，4）.

（2）△CBD为等边三角形

∵α=60°，

∠BCD=∠α=60°

又∵BC=DC，

△CBD为等边三角形

(3)设AH=CH=x,则在RtΔBCH中由勾股定理可得x2=(6-x)2+42,解得x=.故H（,4）.

设HC:y=kx+b(k≠0),则有解得

∴直线HC的解析式为y=-x+.