Question

【题目】如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°

（1）求证：△ODC是等边三角形；

（2）求∠BOE

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由矩形ABCD，得到OC=OD，根据AE平分∠BAD，∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，DEDAO AB=BE，因为∠CAE=15°，所以∠DAC=45°15°=30°，得出∠BAC=∠OCD=60°，即可证得△ODC是等边三角形．

（2）由等边三角形的性质，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°

∴OC=OD，∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，

∴AB=BE，

∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°15°=30°，
∴∠BAC=∠OCD=60°

∴△ODC是等边三角形．

（2）∵OA=OB，∠BAC=∠OCD=60°

∵△AOB是等边三角形，

∴AB=OB，∠ABO=60°

∴∠OBC=90°60°=30°

∵AB=OB=BE，

∴∠BOE=∠BEO=×(180°30°)=75°