Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD，BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是菱形，理由见解析；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由见解析

【解析】

（1）首先由已知直线m∥AB，可推出∠ECD=∠ADC，再由DE⊥BC，得DE∥AC，推出∠EDC=∠ACD，CD为公共边，所以推出△EDC≌△ADC，得证．

（2）首先由D是AB中点和（1）证得DE∥AC，得F为BC中点，即BF=CF，再由已知证△BFD≌△CFE，则DF=EF，已知DE⊥BC，所以BC和DE垂直且互相平分，故得四边形BECD是菱形．

（3）由四边形BECD是正方形可推出∠ABC=45°，即得∠A=45°．

（1）∵直线m∥AB，

∴∠ECD=∠ADC，

又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴DE∥AC，

∴∠EDC=∠ACD，CD=CD，

∴△EDC≌△ADC，

∴CE=AD

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是菱形．

∵D是AB中点，DE∥AC

∴F为BC中点，即BF=CF，

∵直线m∥AB

∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，

∴△BFD≌△CFE，

∴DF=EF，

∵DE⊥BC，

∴BC和DE垂直且互相平分，

故四边形BECD是菱形．

故答案为：当D在AB中点时，四边形BECD是菱形，理由见解析

（3）∵四边形BECD是正方形

∴∠ABC=45°，

∵∠ACB=90°

∴∠A=45°

故答案为：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由见解析