Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD//BC， ，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).

(1)设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是____________（不写取值范围）.

(2)当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.

(3)当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出=_____________.

(4)是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）；（4）

【解析】试题分析：

（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，由此结合三角形的面积公式即可得到S与t之间的函数关系式；

（2）过点P作PH⊥BC于点H，结合勾股定理和已知条件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代数式表达出来，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三种情况列出方程，解方程得到对应的t的值，再结合题中的条件检验即可得到符合要求的t的值；

（3）如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，易证得四边形PMCD是矩形，由此可得PM=CD=3，CM=PD=2t，结合AD=6，BC=4，可得PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=t，由AD∥BC可得△OAP∽△OBQ，结合2OA=OB即可求得t的值，从而可由tan∠BQP=求得其值；

（4）如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，由此结合已知条件把DM2、BM2和BD2用含“t”的式子表达出来，列出方程就可得解得t的值.

试题解析：

（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，

∴S△PBQ=BQ×3=；

（2）如下图，过点P作PH⊥BC于点H，

∴∠PHB=∠PHQ=90°，

∵∠C=90°，AD∥BC，

∴∠CDP=90°，

∴四边形PHCD是矩形，

∴PH=CD=3，HC=PD=2t，

∵CQ=t，BC=4，

∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，

∴BQ2=，BP2= ，PQ2=，

由BQ2=BP2可得： ，解得：无解；

由BQ2=PQ2可得： ，解得： ；

由BP2= PQ2可得： ，解得： 或，

∵当时，BQ=4-4=0，不符合题意，

∴综上所述， 或；

（3）如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，

∴∠PMC=∠C=90°，

∵AD∥BC，

∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，

∴四边形PMCD是矩形， ，

∴PM=CD=3，CM=PD=2t，

∵AD=6，BC=4，CQ=t，

∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,

∴，解得： ，

∴MQ= ，

又∵PM=3，∠PMQ=90°，

∴tan∠BPQ=；

（4）如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，

∵AD∥BC，DM∥PQ，

∴四边形PQMD是平行四边形，

∴QM=PD=2t，

∵QC=t,

∴CM=QM-QC=t，

∵∠BCD=∠MCD=90°，

∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2，

∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2，

∴由BM2=BD2+DM2可得： ，解得： ，

∴当时，∠BDM=90°，

即当时，PQ⊥BD.