Question

【题目】如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H．若 ，则 =（ ）

A.6
B.4
C.3
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AE=AF，AB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG=GF，
∵GH⊥CE，
∴GH∥CF，
∴△EGH∽△EFC，
∵S△EGH=3，
∴S△EFC=12，
∴CF= ，EF= ，
∴AF= ，设AD=x，则DF=x﹣ ，
∵AF2=AD2+DF2 ，
∴（ ）2=x2+（x﹣ ）2 ，
∴x= ，
∴AD= ，DF= ，
∴S△ADF= ADDF=6．
故答案为：A．
根据正方形的性质及等边三角形的性质易证明AE=AF，AB=AD，根据直角三角形全等判定证明Rt△ABE≌Rt△ADF，得出BE=DF，从而证得CE=CF，得出△CEF是等腰直角三角形，再证明GH∥CF，得出△EGH∽△EFC，根据相似三角形的性质及S△EGH=3，求出△EFC的面积，从而求出AF和CE的长，然后设AD=x，利用勾股定理求出AD的长及DF的长，根据三角形的面积公式即可得出答案。