Question

【题目】【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1 ， 先在直线y=kx+b上确定点（x1 ， y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2 ， y1），然后再x轴上确定对应的数x2 ， …，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．

（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=﹣ ，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2 ， x3 ， x4 ， 并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，

取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…

取x1=4，则x2x3=x4=4，…

取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：

当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小．

当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4．

当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大

（2）

解：当x1＞ 时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．

当x1＜ 时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．

当x1= 时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．

理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（ ， ），

当x1＞ 时，对于同一个x的值，kx+b＞x，

∴y1＞x1

∵y1=x2，

∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，

∴当x1＞ 时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．

同理，当x1＜ 时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．

当x1= 时，随着运算次数n的增加，xn保持不变

（3）

解：①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．

随着运算次数的增加，运算结果越来越接近 ．

②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，

由 消去y得到x=

∴由①探究可知：m= ．

【解析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情形解答即可．（2）分x1＞ ，x1＜ ，x1= 三种情形解答即可．（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，xn的值越来越接近两直线交点的横坐标．
②根据前面的探究即可解决问题．本题考查一次函数综合题以及性质，解题的关键是学会从一般到特殊探究规律，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．
【考点精析】认真审题，首先需要了解一次函数的性质(一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小)．