Question

【题目】如图，在ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．

（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；
（2）求△ACE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．

理由如下：

∵BD、AC是ABCD的对角线，

∴点O是AC的中点，

∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，

∴AE=BO，AO=BE，

∵AO=BE，

∴△ABO≌△BAE（SSS），

∴∠ABO=∠BAE，

△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，

∵∠BAC=∠ABC，

∴∠EAC=∠OBC，

由 可得△AFC≌BFC（SAS）

∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，

所以CH是△ABC的高；

（2）解：∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，

∴AH= AB=3，

∴CH= =4，

∴S△ABC= ABCH= ×6×4=12，

∵AE是△ABC的中线，

∴S△ACE= S△ABC=6．

【解析】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中线的性质．注意三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；（2）首先由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．