Question

【题目】阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线 经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点D（m，n），

∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n

（2）

解：点D有一条特征线是y=x+1，

∴n﹣m=1，

∴n=m+1

∵抛物线解析式为 ，

∴y= （x﹣m）2+m+1，

∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），

∴B（2m，2m），

∴ （2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；

∴D（2，3），

∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2+3

（3）

解：如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，

根据题意可得，D（2，3），

∴OA′=OA=4，OM=2，

∴∠A′OM=60°，

∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN= ，

∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣ = ．

乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，

∵顶点落在OP上，

∴A′与D重合，

∴A′（2，3），

设P（4，c）（c＞0），

由折叠有，PD=PA，

∴ =c，

∴c= ，

∴P（4， ）

∴直线OP解析式为y= ，

∴N（2， ），

∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣ = ，

即：抛物线向下平移 或 距离，其顶点落在OP上

【解析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（3）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．
【考点精析】掌握正方形的性质和翻折变换（折叠问题）是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．