Question

【题目】问题背景：
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，从而得出结论：AC+BC= CD．
简单应用：

（1）在图①中，若AC= ，BC=2 ，则CD= ．
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上， = ，若AB=13，BC=12，求CD的长．
拓展规律：
（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）
（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是 ．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）

解：连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵ ，

∴AD=BD，

将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③

，

∴∠EAD=∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三点共线，

∵AB=13，BC=12，

∴由勾股定理可求得：AC=5，

∵BC=AE，

∴CE=AE+AC=17，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，

即∠EDC=∠ADB=90°，

∵CD=ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE= CD，

∴CD=

（3）

解：以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图④

由（2）的证明过程可知：AC+BC= D1C，

∴D1C= ，

又∵D1D是⊙O的直径，

∴∠DCD1=90°，

∵AC=m，BC=n，

∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，

∴D1D2=AB2=m2+n2，

∵D1C2+CD2=D1D2，

∴CD=m2+n2﹣ = ，

∵m＜n，

∴CD= ；

（4）[ "解：当点E在直线AC的左侧时，如图⑤
，
连接CQ，PC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
点P是AB的中点，
∴AP=CP，∠APC=90°，
又∵CA=CE，点Q是AE的中点，
∴∠CQA=90°，
设AC=a，
∵AE= AC，
∴AE= a，
∴AQ= AE= ，
由勾股定理可求得：CQ= a，
由（2）的证明过程可知：AQ+CQ= PQ，
∴ PQ= a+ a，
∴ PQ= AC；
当点E在直线AC的右侧时，如图⑥
【解析】解：（1）由题意知：AC+BC= CD，
∴3 +2 = CD，
∴CD=3，；
（1）由题意可知：AC+BC= CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1 ， 由（2）问题可知：AC+BC= CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．本题考查圆的综合问题，每一问都紧扣着前一问的结论，涉及勾股定理、圆周角定理，旋转的性质等知识，解题的关键是就利用好已证明的结论来进行解答，考查学生综合运用知识的能力．