Question

【题目】如图：已知AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°

(1)如图①,当∠B=90°时，求证：DB=DC；

(2)如图②,如果∠ABD<90°时,(1)中的结论还成立吗?如果成立，请给出证明，如果不成立，请举反例说明；

(3)如图③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°，DB=DC=1，则ABAC=___.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）

【解析】

（1）利用HL判断出△ADC≌△ADC，即可得出结论；

（2）先构造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判断出DE=DB，即可得出结论；

（3）利用（2）结论得出DE=DB，再判断出∠BDE=90°，利用勾股定理求出BE即可得出结论．

（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，

∴∠C=90°.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△ABD（AAS），

∴BD=CD；

（2）BD=CD仍成立，

理由如下：如图②，在AB边上取点E，使AC=AE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠EAD.

∵AD=AD，AC=AE，

∴△ACD≌△AED，

∴DC=DE，∠AED=∠C.

∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，

∴∠DEB=∠B，

∴DE=DB，

∴DB=DC；

（3）如图③，在AB上取一点E使AE=AC，

同（2）的方法得，AE=AC，CD=DE=BD=1，

∴∠DEB=∠B=45°，

∴∠BDE=90°，

根据勾股定理得，BE=，

∴AB-AC=BE=，

故答案为：．