Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论： ①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF= S△ABC；
④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合） BE+CF=EF．
上述结论中始终正确的有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角， ∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，∠EAP=∠FCP=45°
∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF= S△ABC ， ①②③正确；
故AE=FC，BE=AF，
∴AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，故④不成立．
始终正确的是①②③．故选C．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和旋转的性质，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．