Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=AB=2，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论：①EF=2BE；②△APE≌△QEB；③FQ=3EQ；④SBFPE=8，其中正确的结论是______（只填序号）．

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】解：∵AE=AB=2，∴AB=3×2=6，BE=6﹣2=4．∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，∴BE=PE=4，即AE=BE=PE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠A=90°，∴∠APE=30°，∴∠AEP=60°．∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，∴∠BEF=∠FPE=×（180°﹣60°）=60°，∠ABC=∠EPF=90°，∠PFE=∠EFB=180°﹣90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，∴①正确；

∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，∴EF⊥BP，∴∠EQB=90°

在△APE和△QEB中

∴△APE≌△QEB，∴②正确；

∵∠EBF=∠EQB=∠BQF=90°，∠BFE=30°，∴∠FBQ=90°﹣30°=60°，∠EBQ=90°﹣60°=30°，∴BE=2QE，EF=2BE，∴EF=4QE，∴FQ=3EQ，∴③正确；

∵BE=4，∠EBF=90°，∠EFB=30°，∴BF=BE=4，∴△BEF的面积为==8．∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，∴△FPE的面积为8，∴S四边形BFPE=16，∴④错误。

故答案为：①②③．