Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．

（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若QO=QA，求P点的坐标．
（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①由A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y=kx+b，

把A与B坐标代入得： ，

解得：k=- ，b=3，

则直线AB解析式为y=- x+3；

②∵QA=QO，OA=4，

∴xQ=2，

∵点P关于y轴的对称点为Q，

∴xP=-2，

代入直线AP解析式得- ×（-2）+3= ，

则P坐标得P（-2， ）

（2）解：①若∠QAC=90°，如图1所示，

∴xQ=4，

∴a=xP=-4，

∴AC=AQ=8，即P（-4，8），

∴直线AP解析式为y=-x+4，

∴a=-4，b=4；

②若∠AQC=90°，如图2所示，

则AC=4-a=2CH=-4a，

∴a=- ，

∴xP=- ，yP=yq= ，即P（- ， ），

∴直线AP解析式为y=- x+2，

∴a=- ，b=2，

综上所示，a=-4，b=4或a=- ，b=2

【解析】（1）①由题意确定出B坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可求出AB解析式；②由AQ=QO以及OA的长，确定出Q横坐标，根据P与Q关于y轴对称，得出P横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，即可确定出P坐标；
（2）同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分两种情况考虑：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分别求出a与b的值即可．
【考点精析】掌握确定一次函数的表达式是解答本题的根本，需要知道确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．