Question

【题目】对于给定的两个“函数，任取自变量x的一个值，当x<1时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥1时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数y=x-4，它的相关函数为.

(1)一次函数y= -x+5的相关函数为______________.

(2)已知点A(b-1，4)，点B坐标(b+3，4)，函数y=3x-2的相关函数与线段AB有且只有一个交点，求b的取值范围.

(3)当b+1≤x≤b+2时，函数y=-3x+b-2的相关函数的最小值为3，求b的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）当x＜1时，≤b≤；当x≥1时，≤b≤；

（3）当x＜1时，b=-1; 当x≥1时，b=-

【解析】

（1）根据相关函数的概念可直接得出答案；

（2）由A(b-1，4)，B(b+3，4)得到线段AB在直线y=4上，再求出y=3x-2的两个相关函数的图象与直线y=4的交点坐标，从而得到不等式，解不等式即可得出b的取值范围.

（3）分两种情况，当x＜1时，y=-3x+b-2的相关函数是y=3x+2-b，根据一次函数的性质得到当x=b+1时，y有最小值为3，列出方程求解即可得出b值；同理，当x≥1时，y=-3x+b-2的相关函数是y=-3x+b-2, 由函数性质列出方程可得出b值.

解：（1）根据相关函数的概念可得，一次函数y= -x+5的相关函数为；

（2）∵A(b-1，4)，B(b+3，4)，

∴线段AB在直线y=4上，且点A在点B的左边，

当x＜1时，y=3x-2的相关函数是y=2-3x，

把y=4代入y=2-3x，得2-3x=4,解得x=-

∴直线y=4与直线y=2-3x的交点的横坐标是x=-，

∴b-1≤-≤b+3

解得≤b≤

当x≥1时，y=3x-2的相关函数是y=3x-2，

把y=4代入y=3x-2，得3x-2=4,解得x=2

∴直线y=4与直线y=3x-2的交点的横坐标是x=2，

∴b-1≤2≤b+3

解得≤b≤

综上所述，当x＜1时，≤b≤；当x≥1时，≤b≤.

（3）当x＜1时，y=-3x+b-2的相关函数是y=3x+2-b，

∵k=3＞0，y随x的增大而增大，

∵b+1≤x≤b+2

∴当x=b+1时，y有最小值为3

∴3（b+1）+2-b=3

解得b=-1;

当x≥1时，y=-3x+b-2的相关函数是y=-3x+b-2,

∵k=-3＜0，y随x的增大而减小，

∵b+1≤x≤b+2

∴当x=b+2时，y有最小值为3

∴-3（b+2）+b-2=3

解得b=-

综上，当x＜1时，b=-1; 当x≥1时，b=-.