Question

【题目】如图，直线y=-2x+6与x轴交于点A，与直线y=x交于点B.

(1)点A坐标为_____________.

(2)动点M从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O→A的路线向终点A匀速运动，过点M作MP⊥x轴交直线y=x于点P，然后以MP为直角边向右作等腰直角△MPN.设运动t秒时，ΔMPN与ΔOAB重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)(3，0)；(2)

【解析】

（1）将y=0代入y=-2x+6可得x=3，即可得出点A坐标；

（2）分点N在直线AB左侧时，点N在直线AB右侧且P在直线AB左侧时，以及点P在直线AB右侧三种情况讨论，利用数形结合的思想，根据重叠部分的形状，分别用含t的式子表示出三角形的底边和高，从而得到重叠部分的面积.

(1) 将y=0代入y=-2x+6可得x=3，

所以点A坐标为（3，0）

故答案为：（3，0）

(2)如图一，

由得

∴B(2，2)

过点B作BH⊥x轴于点H

∴BH=OH=2，∠AOB=45°

∵PM⊥x轴

∴OM=MP=t

∵等腰直角ΔMPN

∴PN∥x轴

∴∠N=∠NMA=45°

∴∠AOB=∠NMA=45°

∴MN∥OB

∴设直线MN为y=x+b

∵OM=t

∴y=x-t

当点N在直线y=-2x+6上时，OM=PM=PN=t,

∴N(2t,t)

∴t=-2×2t+6，解得：t=

∴当时，

如图二，当点P在直线y=-2x+6上时，OM=PM=t,

可得t=-2t+6，解得：t=2

当时，PN与AB交于点E，MN与AB交于点F，

∵P(t，t)

∴t=-2x+6

∴

∴

∴

∴

∵OA=3

∴MA=3-t

由

得F(2+t，2-t)

过点F作△ENF的高GF, △FMA的高HF

∴HF=2-t

∴

∴

∴；

如图三，当M与A重合时，t=3

故当时,PM与AB交于点E，MN与AB交于点F，有E(t, -2t+6)，F(2+t，2-t)，

∴,

∴;

综上所述，.