Question

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．

特例探索：

（1）①如图1，当，时，_________，________；

②如图2，当，时，求和的值．

归纳证明：

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①，；②，；（2）；（3）

【解析】

（1）①在图1中，连接EF，三角形中位线定理和相似得到，，根据等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在图2中，根据含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解.

（2）三角形中位线定理和相似得到，，结合勾股定理，即可求解；

（3）证明：，，则，即可求解．

解：如图1、2、3、4，连接，则是的中位线，

则，，，

①，

（1）如图1，在直角三角形能ABP中，，

∴，

；

②在图2中，在直角三角形能ABP中，，,

∴

则，；

（2）关系为：，

证明：如图3，由①得：，，

则；

（3）在菱形中,分别为线段，的中点

，，

，则，

同理，，

，

，，

，，

同理：，

则．