Question

【题目】如图所示，已知直线MN//PQ，直线AC交MN、PQ于点A、C，所得的同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．试猜想AC与BD的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】AC与BD相等且互相平分，理由见解析．

【解析】

已知MN//PQ，可得∠MAC＋∠ACP＝180°，已知AB、CB分别平分∠MAC、∠ACP，即∠BAC＝∠MAC，∠BCA＝∠ACP，得到∠BAC＋∠BCA＝90°，∠ABC＝90°，同理可得∠ADC＝90°，根据角平分线的性质可得到∠ACB＋∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，证得四边形ABCD是矩形，得到AC与BD相等且互相平分．

AC与BD相等且互相平分，理由如下：

∵MN//PQ，

∴ ∠MAC＋∠ACP＝180°

又∵AB、CB分别平分∠MAC、∠ACP

∴∠BAC＝∠MAC，∠BCA＝∠ACP

∴∠BAC＋∠BCA＝90°

∴∠ABC＝90°

同理可得∠ADC＝90°

又∠ACP＋∠ACQ＝180°，CB、CD分别平分∠ACP、∠ACQ

∴∠ACB＋∠ACD＝90°

即∠BCD＝90°

∴四边形ABCD是矩形

∴AC与BD相等且互相平分