Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF

⑴求证：四边形ABCD是平行四边形．

⑵若∠BAE=∠BDC,AE=3，BD=9，AB=4，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可；

（2）由平行四边形ABCD的性质可得：AB//CD,从而得到∠ABE＝∠BDC，又由∠BAE=∠BDC可得：∠ABE＝∠BAE,从而得出BE＝AE＝3，DE＝BD－BE＝6，在Rt△AED中，根据勾股定理求得AD的长度，再求其周长即可.

（1）∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，

，

∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB//CD,

∴∠ABE＝∠BDC，

又∵∠BAE=∠BDC,

∴∠ABE＝∠BAE,

∴BE＝AE＝3,

∴DE＝BD－BE＝6，

在Rt△AED中，AD＝，

∴四边形ABCD的周长为2（+4）＝.