Question

【题目】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．

（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；

（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=，0≤x＜4；（3）BN=0或1或2﹣4．

【解析】试题分析：

（1）如图1，过点D作DG⊥BC于G，由已知易得四边形ABGD是矩形，则BG=AD=2，DG=AB=4，由BC=5可得CG=3，由勾股定理可得CD=5，结合BM=10可得CM=BM-BC=5=BC=CD，由此可得△BDM是直角三角形，从而可得BD⊥DM；

（2）如图1，由（1）中CD==5=BC可得∠BDC=∠DBC结合∠MDN=∠BDC即可得到∠DBC=∠MDN，再结合∠BMD=∠DMN可得△MDN∽△MBD，从而可得DM2=BM×MN结合DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，MN=BM﹣BN=y﹣x，可得16+（y﹣2）2=y（y﹣x），整理可得y=，结合点N在线段BC上可得x的取值范围是：；

（3）分：Ⅰ、DN=DM；II、DM=MN；III、MN=DN三种情况结合已知条件和前面所得结论进行分析计算即可.

试题解析：

（1）如图1，过点D作DG⊥BC于G，

∴∠BGD=90°，

∵∠A=90°，梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABGD是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，

∵BC=5，

∴CG=BC﹣BG=3，

在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=5，

∵BM=10，

∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD，

∴△BDM是直角三角形，

∴BD⊥DM；

（2）由（1）知，CD=5=BC，

∴∠BDC=∠DBC，

∵∠MDN=∠BDC，

∴∠DBC=∠MDN，

∵∠BMD=∠DMN，

∴△MDN∽△MBD，

∴，

∴DM2=BM×MN

在Rt△DMG中，根据勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，

∵MN=BM﹣BN=y﹣x，

∴16+（y﹣2）2=y（y﹣x），

∴y=，

又∵点N在线段BC上，

∴0≤x＜4；

（3）∵△DMN是等腰三角形，

∴Ⅰ、当DN=DM时，如图1，NG=MG，

∵NG=2﹣x，MG=y﹣2，

∴2﹣x=y﹣2，

∴x+y=4②，

由（2）知，y=，

∴y（4﹣x）=20①

联立①②，解得x=﹣﹣4（舍）或x=﹣4，

即：BN=-4，

Ⅱ、当DM=MN时，

∴∠MDN=∠DNM，

∵∠CBD=∠MDN，

∴∠CBD=∠DNM，

∴点N与点B重合，

∴BN=0，

Ⅲ、当MN=DN时，

∴∠MDN=∠DMN，

∵∠DBC=∠MDN，

∴∠DBC=∠DMN，

∴DM=BD，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD2=AD2+AB2=20，

∵DM2=16+（BM﹣2）2，

∴20=16+（BM﹣2）2，

∴BM=0（舍去）或BM=4，

∴如图2，

点M在线段BC上，

同（2）的方法得，16+（BM﹣2）2=BM（BM﹣BN）③，

∵MN=BN+BM④，

联立③④解得，BN=1．

即：BN=0或1或﹣4．