Question

【题目】如图，已知正方形的边长为，为边上一点，＝．

（1）请直接写出AE的长是________；

（2）如图（1），若为边上的点，与相交于点，且＝．求证：；

（3）如图（2），若为的中点，过点作直线分别与，相交于点、，且＝．请画出示意图并求出长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）图见解析，2或3

【解析】

（1）根据正方形性质、勾股定理和含锐角的直角三角形性质即可得到结论；

（2）根据正方形性质和题目条件可证明，进而可得；

（3）分两种情况画出示意图（2）和（3），在图（2）中，根据正方形性质可先证明：四边形为平行四边形，再利用勾股定理即可求得，在图（3）中，先证明，再利用勾股定理和等腰三角形性质即可求得．

解：（1）（1）四边形为正方形，

，

（2）如图，∵ 四边形为正方形，

∴ ＝，＝＝，

在和中，

∴ ，

∴ ＝＝

∵ ＝

∴ ＝

∴ ＝

∴ ；

（3）当如图（2）时，过作，交于点，

∵ 四边形为正方形，

∴ ＝，，

∴ 四边形为平行四边形，

∴ ＝

∵ ＝

∴ ＝

由（2）可得：，

∴ ，

∴ ＝

∵ 为的中点，

∴ ，

设＝，在中，＝，

∴ ＝＝，

根据勾股定理得：＝，即，

∵

∴ ＝，

∴ ＝＝；

当如图时，过作，交于点，交于点，

同理可证：，

∴ ＝＝

∴ ＝＝

∴ ＝

在中，＝，

∴ ＝，

∴ ＝

∴ ，

根据勾股定理得：＝

综上可知，的长等于或．