Question

【题目】如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接，交于点，连接，取的中点，连接．

①根据题意补全图形；

②若＝，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②＝，见解析

【解析】

（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．

（2）①根据要求图形即可．

②线段、、之间的数量关系是：．取的中点，连接，，，首先证明四边形是菱形，推出是的中位线，再根据勾股定理即可解决问题．

解：

（1）证明：∵ 四边形是矩形，

∴ 与相等且互相平分，

∴ ＝，

∵ 关于的对称图形为，

∴ ＝，＝，

∴ ＝＝＝，

∴ 四边形是菱形．

（2）①如图．

②线段、、之间的数量关系是：＝．

证明：取的中点，连接，，，

∵ 四边形是矩形∴ ＝

∵ ＝，

∴ ＝＝

∵ ＝，

∴ 是等边三角形，

∴ ＝，

∵ 四边形是菱形，

∴ ＝，＝＝，，

∴ 四边形是菱形，

∴ ，

∴ ，即＝，

∵ 是的中位线，

∴ ，，

∴ ＝＝，

∵ 是的中点，

∴ ＝，

∴ ＝＝，

∴ ＝，

∴ ＝＝，

根据勾股定理得：＝，

即：＝，

∴ ＝．