Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接AB，BC，CD，DA，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与y轴交于点C，

∴点C的坐标为（0，﹣5），

∴OC=5，

∵OC=5OB，

∴OB=1．

又∵点B在x轴的负半轴上，

∴点B的坐标为（﹣1，0）．

将A（4，﹣5），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣5中，

得： ，解得： ，

∴这条抛物线的解析式是y=x2﹣4x﹣5

（2）解：∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴顶点D的坐标为（2，﹣9），

连接AC，如图所示．

∵A（4，﹣5），C（0，﹣5），

∴AC∥x轴，

∴ ， ，

∴四边形ABCD的面积=10+8=18．

【解析】（1）由二次函数图象上点的作伴特征可求出点C的坐标，结合OC=5OB即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出点D的坐标，连接AC，将四边形ABCD分成两个三角形，再根据三角形的面积求出△ACB和△ACD的面积，将其相加即可得出结论．
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．