Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为(不含双曲线与坐标轴)．

（1）求的值；

（2）求内整点的个数；

（3）设点在直线上，过点分别作平行于轴轴的直线，交双曲线于点，记线段、双曲线所围成的区域为，若内部(不包括边界)不超过个整点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）内整点的个数为个；（3）若内部(不包括边界)不超过个整点，

【解析】

（1）利用待定系数法即可求解；

（2）将G内x=1，2，3，4分别代入双曲线，即可求出整点；

（3）根据m的情况进行分类讨论，具体见解析．

（1）∵经过点A(2，2)，

∴，

∴，

（2）对于双曲线 ，

当时，，

在直线上，当0时，有整点（1，1）、（1，2）、（1，3），

当时，，

在直线上，当0时，有整点（2，1），

当时，，

在直线上，当0时，有整点（3，1），

当时，，

在直线上，当0时，没有整点．

∴G内整点的个数为5个．

（3）如图，当时，点B（4，4）， 点C（1，4）此时在区域W内(不包含边界)有（2，3）、（3，2）、（3，3）共3个整点，线段BD上有4个整点，线段BC上有4个整点，

∵点（4，4）重合，点（4,1）（1,4）在边界上，

∴当时，区域W内至少有3+4+4-3=8个整点，

当时，B'（4.5，5），C（），

线段B'C'上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个，

当时，区域W内部整点个数增加，

若W内部(不包括边界)不超过8个整点，．