Question

【题目】如图1，在正方形中，，点在边上，且，以点为圆心，为半径在其左侧作半圆，分别交)于点，交的延长线于点．

　　　

（1） ；

（2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为；设为半圆上一点．

①当点落在边上时，求点与线段之间的最短距离；

②当半圆交于两点时，若的长为，求此时半圆与正方形重叠部分的面积；

③当半圆与正方形的边相切时，设切点为，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①点到的最短距离为，②此时半圆与正方形重叠部分的面积为；③

【解析】

（1）连接GO，根据已知条件，在△DGO中利用勾股定理即可求解；

（2）①如图，过点O'作O'H⊥BC，根据三点共线及垂线段最短可得此时MH即为点M到BC的最短距离，根据已知求得HQ、O'Q、O'M，而MH=HQ- O'Q- O'M即可求得；

②如图，根据的长可以求出∠PO'R=60°，此时半圆与正方形重叠部分的面积为,即可求得答案；

③当半圆与正方形的边相切时有三种情况，分别作图，

第一种情况：当半圆与BC边相切时，连接O'N，，过点E作ET⊥O'N于T，连接EN，过点E作EK⊥DN于K，再依据勾股定理以及等面积法求得EK、NK的值，进而可以求得；

第二种情况：当半圆与AB边相切时,连接DN，如图，根据已知条件可以判断四边形ANED是矩形，进而可以求得；

第三种情况：当半圆O'与CD相切于点N时，此时点N与点E重合，不存在．

（1）连接GO，如图：

∵四边形ABCD是正方形，AB=10，

∴DC=AD=10，∠ODG=90°，

∵CE=2，DO=3，

∴OG=OE=DC-DO-CE=10-3-2=5，

∴DG==4，

∴AG=AD-DG=10-4=6．

故答案为6．

（2）①如图，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M,反向延长HO交AD于

点Q，则∠QHC=90°，

根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，

∵∠C=∠D=∠QHC=90°，

∴四边形QHCD是矩形，

∴HQ=CD=10，HQ//CD，

∵点O'是EF'的中点， 点Q是DF'的中点，

∵DE=8，

∴O'Q=DE=4，

∴O'H=10-4=6，

∵CE=2，DO=3，

∴OE=10-2-3=5，即半圆O的半径为5，

∴MH=HQ- O'Q- O'M=10-4-5=1，

即点M到BC的最短距离为1．

②由①可知半圆O的半径为5，如图

设∠PO'R的度数为，

由题意得： 的长为=，

∴∠PO'R=60°，

∴∠F'O'P+∠EO'R=120°，

，

∵O'R=P O'，

∴△O'RP是等边三角形，

∴．

∴此时半圆O'与正方形重叠部分的面积为．

③第一种情况：当半圆O'与BC相切于N时，连接O'N，，过点E作ET⊥O'N于T，连接EN，

则TN=EC=2，如图：

∵ON=O'E=5，

∴O'T=ON-TN=5-2=3

∴ CN2=TE2= O'E2- O'T2

∴ CN=TE= =4，

∴=，

=，

过点E作EK⊥DN于K，

∵=EKDN=DECN，

∴EK===，

∵==，

∴，

∴NK=，

∴==；

第二种情况：当半圆O'与AB相切于点N时，连接DN，如图

∵EN⊥AB，

∴四边形ANED是矩形，

∴==，

第三种情况：当半圆O'与CD相切于点N时，此时点N与点E重合，不存在，

综上所述，的值为 或．