Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A，B的坐标分别为(6，0)，(7，3)，将平行四边形OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC的延长线上时，线段OA′交BC于点E，则线段C′E的长度为________．

Answer 1

【答案】5．

【解析】如图，过点C作CD⊥OC′于点D．利用旋转的性质和面积法求得OD=，然后通过解直角三角形推知：tan∠COC′=．结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE，自点E向x轴引垂线，交x轴于点F．则EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=．易求OF的长度，则C′E=O′E+O′C=4+1=5．

解：∵OC=OC′，CC′⊥y轴，A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），

∴点C到y轴的距离：7-6=1．

∴O′C=O′C′=1，O点到CC′的距离是3，

∴OD=DC′=，S△OCC′=×2×3=3．

如图，过点C作CD⊥OC′于点D．

则ODC′D=3，

∴OD=，sin∠COC′=，tan∠COC′=．

∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，

∴∠COC′=∠AOE，

∴tan∠AOE=tan∠COC′=．

自点E向x轴引垂线，交x轴于点F．则EF=3．

∵tan∠AOE=，

∴OF=，

∵OF=O′E=4，

∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．

故答案是：5．

“点睛”本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质．根据题意作出辅助线是解题的关键与难点．