Question

【题目】如图，在 中， 平分 ， 于点 .

（1）求 的度数．
（2）求证： .

Answer 1

【答案】
（1）解：∵
∴∠ABC=45°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠ABC=22.5°
在△ABD和△ECD中，∠E=∠A，∠CDE=∠BDA
∴∠ECD=∠ABD=22.5°
（2）证明：如图所示，延长BA，CE交于点F，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，
∴∠ABD=∠ACF， 又∵AB=AC，
在Rt△ABD和Rt△ACF中
∴Rt△ABD≌Rt△ACF，
∴BD=CF，
在Rt△FBE和Rt△CBE中 ∵BD平分∠ABC，
∴∠BCF=∠F， ∵∠BEC=90°
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵BE=BE
∴Rt△FBE≌Rt△CBE
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
即BD=2CE
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形内角和定理及对顶角的性质即可求出∠ECD 的度数。
（2）根据BD平分∠ABC及CE⊥BE，因此添加辅助线：延长BA，CE交于点F，先证明Rt△ABD≌Rt△ACF，得出BD=CF，再证明Rt△FBE≌Rt△CBE ，得出EF=EC，得出CF=2CE，从而证得BD=2CE。