Question

【题目】如图，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分

支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线(k＜0)上运动，则k的值是________．

Answer 1

【答案】-3．

【解析】连接OC，易证AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=AE，FC=EO..设点A坐标为（a，b）则ab=1，可得FCOF=3．设点C坐标为（x，y），从而有FCOF=-xy=-3，即k=xy=-3．

解：∵双曲线y=关于原点对称，

∴点A与点B关于原点对称．

∴OA=OB．

连接OC，如图所示．

∵△ABC是等边三角形，OA=OB，

∴OC⊥AB．∠BAC=60°．

∴tan∠OAC==．

∴OC=OA．

过点A作AE⊥y轴，垂足为E，

过点C作CF⊥y轴，垂足为F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．

∴△AEO∽△OFC．

∴．

∵OC=OA，

∴OF=AE，FC=EO．

设点A坐标为（a，b），

∵点A在第一象限，

∴AE=a，OE=b．

∴OF=AE=a，FC=EO=b．

∵点A在双曲线y=上，∴ab=1．

∴FCOF=ba=3ab=6

设点C坐标为（x，y），

∵点C在第四象限，

∴FC=x，OF=-y．

∴FCOF=x（-y）=-xy=3．

∴xy=-3．

∵点C在双曲线y=上，

∴k=xy=-3．

故答案为：-3．

“点睛”本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．