Question

【题目】如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC＝1：2，点D为的中点，BE⊥CD垂足为E．

(1)求∠BCE的度数；

(2)求证：D为CE的中点；

(3)连接OE交BC于点F，若AB＝，求OE的长度．

Answer 1

【答案】（1）45°；　（2）见解析　（3）

【解析】（1）连接AD，由D为弧AB的中点，得到AD=BD ，根据圆周角定理即可得到结论；

（2）由已知条件得到∠CBE=45°，根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BD，根据相似三角形的性质得到DE：AC=BE：BC，即可得出结论.

（3）连接CO，根据线段垂直平分线的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位线到现在得到OF=AC，根据直角三角形的性质得到EF=BC，由勾股定理即可得到结论.

(1)解：连接AD，

∵D为弧AB的中点，∴AD＝BD，

∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°

∴∠DCB＝∠DAB＝45°；

(2)证明：∵BE⊥CD，又∵∠ECB＝45°，∴∠CBE＝45°，∴CE＝BE，

∵四边形ACDB是圆O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，

又∵∠BDE+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠BDE，

又∵∠ACB＝∠BED＝90°，∴△ABC∽△DBE，

∴DE：AC＝BE：BC，∴DE：BE＝AC：BC＝1：2，

又∵CE＝BE，∴DE：CE＝1：2，∴D为CE的中点；

(3)解：连接CO，∵CO＝BO，CE＝BE，∴OE垂直平分BC，

设OE交BC于F,则F为BC中点，又∵O为AB中点，∴OF为△ABC的中位线，

∴OF＝AC，

∵∠BEC＝90°，EF为中线，∴EF＝BC，

在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，

∵AC：BC＝1：2，AB＝，∴AC＝，BC＝2

∴OE＝OF+EF＝．