Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．

（1）证明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由三线合一可知AC⊥BD，然后利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；

（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．

（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，

∴AC⊥BD，

∴∠ACD+∠BDC=90°，

∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠ADC+∠BDC=90°，

∵PD⊥AD，

∴∠ADC+∠PDC=90°，

∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，

∵∠BDC=∠PDC，

∴CE=CM，

∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，

∴△CPM∽△APD，

∴=，

设CM=CE=x，

∵CE：CP=2：3，

∴PC=x，

∵AB=AD=AC=1，

∴=，

解得：x=，

故AE=1-=．