Question

【题目】如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高．动点D在射线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）填空：∠ACB=______度；

（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；

（3）当动点D在射线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的每一个内角都等于60°进行解答；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠ACD=∠BCE，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）分两种情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，即可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，即可得出结论．

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．

故答案为：60；

（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°．理由如下：

∵AD为等边三角形的高，∴∠AMC=∠AMB=90°，∠CAO∠BAC=30°，∠ACB=60°，分两种情况讨论：

①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°．

又∵∠AMC=∠BMO=90°，∴∠AOB=90°－30°=60°．

②当点D在线段AM的延长线上时，如图2．

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD=30°．

又∵∠AMC=∠BMO=90°，∴∠AOB=90°－30°=60°．

综上所述：当动点D在射线AM上时，∠AOB为定值60°．