Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接CO，

，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD=90°，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCD，

∵∠ACO=∠CAD，

∴∠CAD=∠BCD，

在△ADC和△CDB中，

∴△ADC∽△CDB．

（2）解：设CD为x，

则AB= x，OC=OB= x，

∵∠OCD=90°，

∴OD= = = x，

∴BD=OD﹣OB= x﹣ x= x，

由（1）知，△ADC∽△CDB，

∴ = ，

即 ，

解得CB=1，

∴AB= = ，

∴⊙O半径是

【解析】（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．（2）首先设CD为x，则AB= x，OC=OB= x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得： = ，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．
【考点精析】利用切线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．