Question

【题目】△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．

（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；

（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；

（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE＝11°；（2）∠DAE＝（∠C﹣∠B）；说明见解析；（3）∠G＝45°．

【解析】

（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE=∠DAC-∠EAC，即可得出；

（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE=∠DAC-∠EAC，即可得出；

（3）设∠ACB=α，根据角平分线的定义得到∠CAG=∠EAC=（90°-α）=45°-α，∠BCG=∠BCF=（180°-α）=90°-α，根据三角形的内角和即可得到结论．

解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAC＝∠BAC＝39°，

∵AE是BC边上的高，

在直角△AEC中，

∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；

（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣（∠B+∠C），

∵AE是BC边上的高，

在直角△AEC中，

∵∠EAC＝90°﹣∠C，

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；

（3）设∠ACB＝α，

∵AE⊥BC，

∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，

∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，

∴∠CAG＝ ∠EAC＝（90°﹣α）＝45°﹣α，

∠BCG＝ ∠BCF＝（180°﹣α）＝90°﹣α，

∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°﹣α）﹣α﹣（90°﹣α）＝45°．