Question

【题目】如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE；

（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；

（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）⊙O的半径是2；（3）CD2=BDAD，证明详见解析

【解析】

（1）连接OC，由CD是⊙O切线得到OC⊥CD，根据平行线的性质得到∠EAC=∠ACO，由等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，于是得到结论；

（2）连接BC，由三角函数的定义得到sin∠CAE=，得到∠CAE=30°，于是可得∠CAB=∠CAE=30°，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，解直角三角形即可求解；

（3）根据余角的性质得到∠DCB=∠ACO，再得到△BCD∽△CAD，根据相似三角形的性质即可求解．

（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O切线，

∴OC⊥CD，

∵AE⊥CD，

∴OC∥AE，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠EAC=∠A=CAO，

即AC平分∠BAE；

（2）解：连接BC，

∵AE⊥CE，AC=2CE=6，

∴sin∠CAE=，

∴∠CAE=30°，

∴∠CAB=∠CAE=30°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴cos∠CAB=

，

∴AB=4，

∴⊙O的半径是2；

（3）CD2=BDAD，

证明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠DCB=∠ACO，

∴∠DCB=∠ACO=∠CAD，

∵∠D=∠D，

∴△BCD∽△CAD，

∴，

即CD2=BDAD．