Question

【题目】已知：在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形时，设BF=x，△GFC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，过点G作GM⊥BC，垂足为M．

由矩形ABCD可知：∠A=∠B=90°，

由正方形EFGH可知：

∠HEF=90°，EH=EF，

∴∠1+∠2=90°，

又∠1+∠3=90°，

∴∠3=∠2，

∴△AEH≌△BFE．

∴BF=AE=2，

同理可证：△MGF≌△BFE，

∴△MGF≌△AEH，

∴GM=AE=2，

又 FC=BC﹣BF=12﹣2=10，

∴S△GFC= FCGM= ×10×2=10．

（2）解：如图2，过点G作GM⊥BC，垂足为M，连接HF．

由矩形ABCD得：AD∥BC，

∴∠AHF=∠HFM，

由菱形EFGH得：EH∥FG，EH=FG，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

又∠A=∠M=90°，EH=FG，

∴△MGF≌△AEH，

∴GM=AE=2，

又 BF=x，∴FC=12﹣x，

∴S△GFC= FCGM= （12﹣x）2=12﹣x，

即：S=12﹣x，

定义域： ．

【解析】（1）只要证明△AEH≌△BFE．推出BF=AE=2，由△MGF≌△BFE，推出△MGF≌△AEH，求出FC、GM即可解决问题．（2）如图2，过点G作GM⊥BC，垂足为M，连接HF，根据S△GFC= FCGM，计算即可．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．