Question

【题目】在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG=BF，连接CE、DE、DG．
（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形 ；
（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于 GH的线段．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，

∵∠ACB=90°，AE=EB，

∴EC=EA=EB，

∵EF⊥BC，

∴CF=FB，

∵AD=DC，AE=EB，

∴DE∥BC，DE= BC=BF，

∵CG=BF，

∴DE=CG，DE∥CG，

∴四边形四边形CEDG是平行四边形

（2）解：如图2中，

∵四边形四边形CEDG是平行四边形，

∴DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，

∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，

∴△ADE∽△AEH，

∴AE2=ADAH=2a3a=6a2，

∴AE= a，

在Rt△AEH中，HE= = = a，

∴AE= HE，

∵GH=HE，AE=EB=CE=CD，

∴线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的 倍

【解析】（1）欲证明四边形CEDG是平行四边形，只要证明DE∥CG，DE=CG即可．（2）由四边形四边形CEDG是平行四边形，推出DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，由∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE2=ADAH=2a3a=6a2 ， 推出AE= a，在Rt△AEH中，HE= = = a，推出AE= HE，因为GH=HE，AE=EB=CE=CD，即可推出线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的 倍．
【考点精析】关于本题考查的三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，需要了解连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能得出正确答案．